[tex] \: [/tex]
Penyelesaian dari 2x² - 2x - 2 = 0 adalah p dan q. Maka, nilai dari [tex]\rm p^5 + q^5[/tex] adalah ...
» opsi
a. 10
b. 11
c. 12
d. 13
e. 14
[tex]\large\text{$\begin{aligned}p^5+q^5=\bf11\end{aligned}$}[/tex]
Pembahasan
Akar-akar Persamaan Kuadrat
Jika [tex]p[/tex] dan [tex]q[/tex] adalah akar-akar dari persamaan kuadrat [tex]2x^2 - 2x - 2 = 0[/tex], maka:
- jumlah akar-akarnya:
[tex]p + q = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{(-2)}{2} = \bf1[/tex]
- hasil kali akar-akarnya:
[tex]pq = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-2}{2} = \bf{-}1[/tex]
Nilai [tex]p^5+q^5[/tex] dapat dihitung dengan:
[tex]\begin{aligned}&p^5+q^5\\&{=\ }(p+q)^5\\&{\quad}-5pq\left(p^3+q^3\right)\\&{\quad}-10p^2q^2(p+q)\\&{=\ }(p+q)^5\\&{\quad}-5pq\left[{(p+q)}^3-3pq(p+q)\right]\\&{\quad}-10{(pq)}^2(p+q)\\&{=\ }(p+q)^5\\&{\quad}-5pq{(p+q)}^3+15{(pq)}^2(p+q)\\&{\quad}-10{(pq)}^2(p+q)\\&{=\ }(p+q)^5-5pq{(p+q)}^3+5{(pq)}^2(p+q)\\&{=\ }(p+q)^5-5pq\left({(p+q)}^3-pq(p+q)\right)\\\end{aligned}[/tex]
Substitusi nilai [tex]pq[/tex] dan [tex]p+q[/tex].
[tex]\begin{aligned}p^5+q^5&=(1)^5-5(-1)\left({1}^3-(-1)(1)\right)\\&=1+5\left(1+1\right)\\\therefore\ p^5+q^5&=\boxed{\ \bf11\ }\end{aligned}[/tex]
[tex]\blacksquare[/tex]
[answer.2.content]
